Nacque ad Asti il 13 febbraio 1825. In questa città compì i primi studi, quindi si trasferì a Torino dove si laureò in Ingegneria idraulica nel 1848. Giovanni Plana, di cui era stato allievo cogliendone l’invito a rivolgere i propri interessi verso le discipline matematiche e astronomiche, lo propose nel 1850 per la cattedra di Meccanica razionale presso l’Accademia Militare, insegnamento al quale Dorna attese fino all’anno della sua morte. Il suo Elementi di meccanica razionale (Torino, Arnaldi), pubblicato nel 1865 ad uso degli allievi dell’Accademia, fu più volte ristampato.
Morto Plana nel 1864 e in seguito al rifiuto di Schiaparelli di trasferirsi da Brera a Torino, a dirigere l’Osservatorio fu inviato temporaneamente il professor Gilberto Govi fino alla nomina ufficiale di Dorna, che successe a Plana nel 1865 anche nella cattedra di Astronomia presso l’Università (a partire da questa data l’Università di Torino era intanto subentrata all’Accademia delle Scienze nell’amministrazione della Specola).
Immediatamente Dorna si dedicò alla ricerca di fondi per incrementare la dotazione strumentale e il personale dell’Istituto. Nel 1866 diede inizio alla pubblicazione del «Bollettino meteorologico del Regio Osservatorio dell’Università di Torino», stampato a cura dell’Accademia delle Scienze. In questa pubblicazione venivano inserite anche osservazioni astronomiche di carattere particolare.
Pur disponendo di scarsi mezzi, nel corso degli oltre vent’anni della sua direzione la Specola torinese portò a termine numerosi lavori, tra i quali le osservazioni di stelle cadenti. Per facilitare questo lavoro di osservazione Dorna compilò un catalogo, corredato di un atlante, di stelle dalla prima alla quarta grandezza, pubblicato nel 1871 con il titolo Catalogo delle 634 stelle principali visibili alla latitudine media di 45° colle coordinate delle loro posizioni medie per l’anno 1880, ed Atlante di 12 carte contenenti le dette stelle proiettate stereograficamente sull’orizzonte, di due in due ore siderali, coi circoli paralleli di declinazione di 10 in 10 gradi.
Nel 1874 partecipò alla spedizione a Muddapur (Indie orientali), organizzata dal direttore dell’Osservatorio astronomico di Palermo Pietro Tacchini con il sostegno del Ministero della Pubblica Istruzione per osservare il transito di Venere sul Sole. Nel 1882 studiò nuovamente in Torino lo stesso passaggio e le sue osservazioni e deduzioni si distinsero per il rigore dimostrato e la precisione dei risultati.
Nello stesso periodo il Consorzio universitario torinese, costituito nel capoluogo subalpino allo scopo di sostenere finanziariamente l’Università e gli Istituti da essa dipendenti grazie a una convenzione fra Provincia e Comune, diede a Dorna l’opportunità di acquistare un telescopio equatoriale, vale a dire un telescopio rifrattore con obbiettivo acromatico – prodotto dalla ditta Merz di Monaco di Baviera – di 30 cm di diametro e distanza focale di quattro metri e mezzo. Lo strumento, installato nel 1886 sotto una cupola girevole di otto metri e mezzo di diametro e cinque metri e mezzo di altezza, rimase il maggiore in dotazione all’Osservatorio fino al 1971, quando fu inaugurato il telescopio Marcon.
Dorna prese parte a numerose commissioni scientifiche e fu membro di diversi Istituti e Accademie: dal 1867 del Regio Istituto Lombardo, dal 1869 dell’Accademia delle Scienze di Torino e dal 1872 dell’Accademia nazionale dei Lincei. Nel 1868 gli fu affidata la reggenza della cattedra di Geodesia presso la Scuola di Guerra e fu eletto rappresentante dell’Accademia delle Scienze di Torino presso il Consiglio direttivo della Scuola di Applicazione degli Ingegneri.
Alle sue opere di carattere astronomico vanno aggiunti numerosi studi nel campo della matematica pura e applicata, pubblicati negli «Annali di Matematica» di Roma e nel «Giornale di Matematica» di Napoli.
Dorna fu il primo a rimarcare, dopo quasi sessant’anni dallo stabilimento dell’Osservatorio nei locali di Palazzo Madama, l’inadeguatezza della sede, proponendo, in una lettera al rettore dell’Università datata 15 dicembre 1883, la sistemazione dell’attuale edificio oppure la costruzione di un nuovo Istituto.
Morì nella sua villa presso Sant’Ambrogio di Torino il 19 agosto 1886 per i postumi di una caduta dalle scale dell’Osservatorio.
Come ebbe a dire Francesco Siacci nella sua commemorazione, «[…] la nostra Accademia perdeva un socio antico e valoroso, l’Università di Torino un egregio professore, l’Osservatorio astronomico un operoso direttore, le scienze matematiche un cultore esimio, i colleghi un amico carissimo».