Nacque a Voghera (Pavia) il 6 novembre 1781. Nel 1796, poco dopo l’esito vittorioso della prima battaglia della Campagna d’Italia di Napoleone presso Montenotte, eresse un albero della libertà nel cortile della scuola di Sant’Agata in cui frequentava corsi di retorica, costringendo in tal modo la famiglia, per preservarlo dalle accuse di bonapartismo, a inviarlo a Grenoble presso alcuni zii.
Qui frequentò l’École Centrale, istituzione che offriva ampio spazio all’insegnamento delle discipline scientifiche, e nel 1800 vinse un concorso di ammissione agli studi universitari presso l’École Polytechnique di Parigi, i cui docenti erano Lagrange (analisi e meccanica), Laplace (astronomia), Monge (geometria), Berthollet (chimica).
Terminati gli studi, nel 1803 rientrò in Italia dove, per intercessione di Lagrange, fu nominato professore di Matematiche alla Scuola imperiale di Artiglieria del Piemonte con sede a Torino, trasferita nel 1805 ad Alessandria.
Nel marzo 1811 ottenne, in seguito alla rinuncia da parte dell’abate Tommaso Valperga di Caluso, la cattedra di Astronomia presso l’Università di Torino; tre mesi più tardi fu eletto membro della Classe di Scienze esatte presso l’Accademia delle Scienze. Ancora nel 1811 diede alle stampe lo studio Sulla teoria dell’attrazione degli sferoidi ellittici e, su incoraggiamento di Barnaba Oriani (direttore dell’Osservatorio di Brera), iniziò a lavorare sul problema del calcolo dell’orbita lunare. Due anni più tardi divenne direttore dell’Osservatorio astronomico torinese, incarico che ricoprì per oltre 50 anni.
Nel 1815, con la Restaurazione, in seguito alla soppressione dell’insegnamento di Astronomia e fino al suo ripristino da parte di Vittorio Emanuele I, Plana fu titolare della cattedra di Calcolo infinitesimale. Fu anche epurato dall’Accademia delle Scienze (al pari di tutti gli eletti nel periodo napoleonico) ma subito riammesso. Nel 1842 ne divenne vicepresidente e nel 1851 presidente.
Nel 1816 fu chiamato a insegnare Meccanica razionale presso l’Accademia Militare torinese e nel 1821 assunse l’impegno, su proposta del direttore Cesare Saluzzo, della direzione particolare degli studi matematici. Nel 1817 sposò Alessandra Maria Lagrange, nipote di Joseph-Louis.
Durante i moti del 1821, accusato di parteggiare per l’indipendenza italiana – accusa che non ebbe seguito grazie a una fama ormai largamente consolidata – ebbe a suo sostegno il barone di Zach, cultore delle scienze e delle discipline astronomiche nonché suo grande ammiratore, che lo consigliò di tenersi al di sopra des affaires politiques.
Nello stesso anno ricevette l’incarico, insieme all’astronomo di Brera Francesco Carlini, dei lavori geodetici inerenti la misura di un arco di parallelo a una latitudine media tra polo ed equatore in Piemonte e in Savoia. Una apposita Commissione, composta dai due astronomi e da ufficiali piemontesi e austriaci, portò a termine il lavoro in soli tre anni. I risultati furono pubblicati in due volumi nel 1825 e nel 1827.
Nel 1823 erano anche terminate le operazioni di verifica della misura del Gradus Taurinensis calcolato da Beccaria. I lavori, ancora condotti dalla medesima Commissione sotto la direzione di Plana, avevano dimostrato che il grado di Beccaria differiva di soli 13" d’arco da quello misurato dalla Commissione e che quindi le polemiche dell’astronomo Cassini erano infondate.
Nel 1832 morì l’amato figlio Luigi di soli 7 anni: il dolore per la sua perdita è testimoniato nell’introduzione all’opera in tre volumi che lo rese famoso, la Théorie du mouvement de la Lune, (Turin, de l’Imprimerie royale), che procurarono all’autore e all’Ateneo subalpino il riconoscimento della comunità scientifica internazionale: «[…] L’énumeration des toutes les causes qui ont retardé la publication de cet ouvrage serai inutile; mais dans ce nombre, il y en a une don’t le souvenir pesera toujours douloureusement sur mon coeur. Au moment où j’allais toucher le terme de cette longue carrière, la mort frappa (la journée du 27 mars 1832) l’unique fils qui aurait pu consoler ma vieillesse, en se livrant à l’étude des sciences exactes».
Negli anni successivi compì altre importanti ricerche nei settori dell’analisi, della fisica matematica e della meccanica celeste: ad esempio sulla densità dell’atmosfera, sui pendoli, sulla variazione della temperatura al variare dell’altezza, sui fenomeni d’urto, sulla rifrazione astronomica, sulle orbite dei corpi in moto fra la Terra e la Luna, sul moto delle comete e dei pianeti.
Fu membro della Royal Society e della Astronomical Royal Society di Londra che gli tributarono ambìti riconoscimenti, dell’italiana Accademia dei Quaranta, dell’Académie des Sciences di Parigi. Quest’ultima, che nel 1826 lo nominò Corrispondente della sezione di geometria, nel 1828 gli conferì insieme a Carlini il premio Lalande e nel 1860 lo elesse suo Associé étranger.
In patria fu benvoluto dalla dinastia sabauda: Vittorio Emanuele I appoggiò la sua richiesta di trasferire la sede dell’Osservatorio astronomico dal Palazzo dell’Accademia delle Scienze a Palazzo Madama, impresa completata nel 1822 al termine dei lavori di costruzione della nuova Specola sulla torre più occidentale tra quelle a Nord dell’edificio. Carlo Felice gli assegnò il titolo di Astronomo Reale nel 1827, Carlo Alberto la decorazione dell’Ordine civile di Savoia, il titolo ereditario di barone nel 1844 e nel 1848, dopo la proclamazione dello Statuto, lo nominò senatore. Da Vittorio Emanuele II fu insignito del gran cordone dell’Ordine dei Santi Maurizio e Lazzaro. All’estero, l’Imperatore d’Austria lo decorò con la Corona di Ferro.
Morì improvvisamente il 20 gennaio 1864, alcuni giorni dopo avere presentato in Accademia una memoria sulla teoria dei movimenti planetari.

La città di Torino, che nutriva per Plana massima stima e ammirazione, pose una lapide commemorativa sulla facciata del Palazzo dell’Accademia e gli intestò una via e una scuola; l’Università gli dedicò un busto.